Kaip rasti pagrindinius veiksnius naudojant faktorių medį

PIRMINĖ FAKTORIZACIJA

Pirminis koeficientas yra procesas, kurio metu bendras skaičius perrašomas kaip pagrindinių veiksnių sandauga.

1 pavyzdys: Sužinokite pagrindinį 30 koeficientą.
Pirmiausia pamatysime, ar nurodytas skaičius dalijasi iš mažiausio pirminio skaičiaus.
Taip, taip yra, nes skaitmuo jo vietoje yra 0.
30 = 2 × 15
Mes turime, 15 = 3 × 5

Taigi, koeficientai 30 yra
∴ 30 = 2 × 3 × 5
2, 3 ir 5 yra pagrindiniai 30 faktoriai.

2 pavyzdys: Panagrinėkime kitą skaičių 56.
56 = 2 × 28 = 2 × 2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 7
2 ir 7 yra pagrindiniai 56 faktoriai.

Didesnio skaičiaus pirminis faktorizavimas naudojant trumpojo dalijimo metodą

Paaiškinkime tai paimdami pavyzdį.
1 pavyzdys: Išreikškite 256 pagrindine koeficientu.
Padalinkite 256 pradedant nuo mažiausio pirminio skaičiaus, kuris gali jį padalyti. Pakartokite procesą, kol koeficientas nebebus dalijamas iš pirminio skaičiaus.

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

2 pavyzdys: Išreikškite 540 pagrindine koeficientu.

540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5

AUKŠČIAUSIS BENDRAS VEIKSNIS (HCF)

Rita ir Rina nuėjo į kanceliarinių prekių parduotuvę. Rita įsigijo 2 pieštukus, 2 rašiklius ir 1 trintuką. Rina įsigijo 2 pieštukus, 1 svarstyklę ir 1 rašiklį. Abiejų papirkti kanceliariniai gaminiai yra pieštukai ir rašikliai. Iš jų įprasta kanceliarinė įranga, turinti maksimalų skaičių, yra pieštukas (2). Taigi, HCF yra 2 pieštukai.
Didžiausias dviejų natūraliųjų skaičių bendras faktorius yra didžiausias bendrasis faktorius arba daliklis iš nurodytų natūraliųjų skaičių. Kitaip tariant, HCF yra didžiausias nurodytų skaičių bendrųjų veiksnių rinkinio elementas.

Pavyzdys: Panagrinėkime du skaičius 45 ir 63.
Bendrieji koeficientai 45 ir 63 = 1, 3, 9
Didžiausias bendras faktorius = 9.
Taigi 45 ir 63 HCF yra 9.

HCF pirminio faktorizavimo metodu

Panagrinėkime du skaičius 72 ir 48.
Norėdami rasti pagrindinį faktorizavimą, turime atlikti šiuos veiksmus.
1 žingsnis: Raskite pagrindinį abiejų skaičių koeficientą.

2 žingsnis: Raskite bendrus pirminius duotųjų skaičių veiksnius.
Dažni veiksniai = 2, 2, 2, 3
3 žingsnis: Norėdami sužinoti HCF, padauginkite visus įprastus veiksnius.
∴ HCF = 2 × 2 × 2 × 3
= 24
Dviejų ar daugiau skaičių HCF yra didžiausias bendras faktorius iš visų nurodytų skaičių.

HCF ilgo dalijimo metodu

Norint rasti HCF, naudojant dviejų dalijimo metodą
atlikite toliau nurodytus veiksmus.
1 žingsnis: Didesnį skaičių padalykite iš mažesnio skaičiaus.
2 žingsnis: Paimkite likutį kaip daliklį ir daliklį kaip dividendą.
3 žingsnis: Tęskite procesą, kol gausite 0 kaip likusią dalį.
4 žingsnis: Paskutinis daliklis bus reikalingas nurodytų skaičių HCF.

1 pavyzdys: Raskite 198 ir 360 HCF, naudodami ilgojo dalijimo metodą.
Sprendimas:

Čia paskutinis daliklis yra 18.
Taigi HCF 198 ir 360 = 18.

2 pavyzdys: Raskite didžiausią skaičių, kuris tiksliai padalija skaičius 280 ir 1245, paliekant atitinkamai 4 ir 3 liekanas.
Sprendimas: Kadangi 4 ir 3 yra likę, kai 280 ir 1245 padalijami iš reikiamo skaičiaus.
∴ 280 – 4 = 276 ir 1245 – 3 = 1242 bus tiksliai padalijami iš reikalingo skaičiaus.
Mes randame 276 ir 1242 HCF.
276 = 2 × 2 × 3 × 23
1242 = 2 × 3 × 3 × 3 × 23
∴ HCF = 2 × 3 × 23 = 138
276 ir 1242 HCF = 138
Taigi reikalingas skaičius yra 138.

MAŽIAUSI BENDRAS KELIAS AR MAŽIAU BENDRAS KELIAS (LCM)

Teena bėga kas trečią dieną, o Meena bėga kas penktą dieną. Jie abu šiandien bėga. Po kiek dienų jie vėl bėgios kartu?
Teena bėgios 3 dieną, 6 dieną, 9 dieną,…
Meena bėgios 5 dieną, 10 dieną, 15 dieną,…
„Teena“ kartotiniai iš 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,…
Meena atveju kartotiniai iš 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…
Tai reiškia, kad jie bėgios kartu po 15 dienų,
30 dienų, 45 dienų ir kt. Todėl 15, 30, 45,… yra įprasti 3 ir 5 kartotiniai, bet mažiausias (mažiausias) 3 ir 5 bendras kartotinis yra 15. Taigi, po 15 dienų jie vėl bėga kartu .
Mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra tiek a, tiek b kartotinis, yra mažiausias natūralusis skaičius iš dviejų natūraliųjų skaičių a ir b.
Kadangi tai daugiklis, jį galima padalinti iš a ir b nepaliekant likusio.

1 pavyzdys: Raskite 4, 8 ir 12 LCM.
Sprendimas: 4 kartotiniai = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48,…
8 kartotiniai = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,…
12 kartotiniai = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,…
Dažni kartotiniai = 24,48, 72
Mažiausias bendras kartotinis = 24
Taigi 4, 8,12 LCM yra 24.

2 pavyzdys: Raskite 25 ir 30 LCM.
Sprendimas: 25 kartotiniai = 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200
30 kartotiniai = 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240
Dažni 25 ir 30 kartotiniai = 150, 300,…
Mažiausiai bendras kartotinis = 150
Taigi 25 ir 30 LCM yra 150.

LCM radimas pirminio faktorizavimo metodu

Norėdami rasti LCM pagal pagrindinio faktorizavimo metodą, atlikime šiuos veiksmus:
1 žingsnis: Nurodykite pateiktus skaičius kaip pirminių skaičių sandaugą.
2 žingsnis: Suskaičiuokite maksimalų kiekvieno veiksnio pasirodymo skaičių, tada padauginkite juos.
3 žingsnis: Šių veiksnių sandauga yra mažiausiai paplitęs kartotinis (LCM).

1 pavyzdys: Raskite 28, 44 ir 132 LCM pagal pagrindinio faktorizavimo metodą.
Sprendimas:

Pagrindinis koeficientas 28 = 2 × 2 × 7
Pirminis koeficientas iš 44 = 2 × 2 × 11
Pagrindinis koeficientas 32 = 2 × 2 × 3 × 11
Čia 2 rodomi du kartus.
3, 7 ir 11 pasirodo vieną kartą.
∴ LCM = 2 × 2 × 3 × 7 × 11 = 924

2 pavyzdys: Raskite 72, 90 ir 108 LCM faktorizavimo metodu.
Sprendimas:

Pagrindinis koeficientas 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Pirminis koeficientas iš 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Čia 2 rodomi tris kartus, 3 – tris kartus ir 5 – vieną kartą.
∴ LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 1080

LCM pagal bendrą dalijimosi metodą

Norėdami rasti LCM pagal bendrą dalijimosi metodą, atlikime šiuos veiksmus.
1 žingsnis: Išdėstykite skaičius eilutėje, atskirtus kableliais.
2 žingsnis: Pasirinkite mažiausiai pirminį skaičių, kuris padalija bent vieną iš nurodytų skaičių.
3 žingsnis: Padalinkite skaičius iš 2 žingsnyje pasirinkto skaičiaus ir perkelkite neskaidytus skaičius.
4 žingsnis: Pakartokite procesą, kol paskutinėje eilutėje likęs skaičius bus 1.
5 žingsnis: Padauginkite visus pagrindinius daliklius, kad gautumėte LCM.

1 pavyzdys: Raskite 102, 170 ir 136 LCM pagal bendrą dalijimosi metodą.
Sprendimas:

LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 17 = 2040

2 pavyzdys: Raskite 11, 22, 24 ir 36 LCM.
Sprendimas:

Pagrindinis koeficientas 90 = 2 × 3 × 3 × 5
LCM = 2 × 2 × 3 × 11 × 2 × 3 = 792

3 pavyzdys: Raskite mažiausią skaičių, kurį padalinus iš 20,24 ir 36, kiekvienu atveju lieka 18.
Sprendimas: Mažiausias skaičius, tiksliai padalijamas iš 20, 24 ir 36, yra šių skaičių LCM. Pirmiausia randame 20, 24 ir 36 LCM.

∴ LCM = 2 × 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 360
Bet būtinas skaičius yra skaičius, paliekantis 18 likutį kiekvienu atveju.
Tai reiškia, kad reikiamas skaičius yra 18 daugiau nei LCM.
∴ Reikalingas skaičius = 360 + 18 = 378

Pagrindiniai veiksniai naudojant faktorių medį Sprendimų problemų pavyzdys

1 pavyzdys: Raskite pagrindinius 540 koeficientus
Sol.

∴ 5 yra pirminis skaičius, todėl jo negalima toliau dalyti su jokiu pirminiu skaičiumi
540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = 2² × 3³ × 5

2 pavyzdys: Raskite pagrindinius 21252 faktorius
Sol.

21252 = 2 × 2 × 3 × 7 × 11 × 23
= 2² × 3 × 11 × 7 × 23.

3 pavyzdys: Raskite pagrindinius 8232 koeficientus
Sol.

32 8232 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7 × 7
= 2³ × 3 × 7³.

4 pavyzdys: Raskite trūkstamus skaičius a, b ir c pagal šiuos faktorius:

Ar galite rasti viršuje esantį numerį neradę kito?
Sol. c = 17 × 2 = 34
b = c × 2 = 34 × 2 = 68 ir
a = b × 2 = 68 × 2 = 136
ty a = 136, b = 68 ir c = 34.
Taip, skaičių galime rasti viršuje, neradę kitų.
Priežastis: Pateikti skaičiai 2, 2, 2 ir 17 yra vieninteliai skaičiaus viršuje faktoriai, taigi skaičius viršuje = 2 × 2 × 2 × 17 = 136

Matematika