Kaip rasti apskritimo sektoriaus plotą

Kaip rasti apskritimo sektoriaus plotą

Jei lankas centre sutraukia θ kampą, jo lanko ilgis yra
( frac { text {} ! ! theta ! ! text {}} { text {180}} text {} ! ! times ! ! text {} ! ! pi ! ! text {r} )
Taigi kampo sector sektoriaus lanko ilgis „l“ a
spindulio r apskritimą pateikia
(l = frac { text {} ! ! theta ! ! text {}} { text {180}} text {} ! ! times ! ! text { } ! ! pi ! ! text {r} ……. text {(i)} )
Jei lankas lenkia kampą θ, atitinkamo sektoriaus plotas yra
( frac { pi {{r} ^ {2}} theta} {360} )
Taigi kampo θ sektoriaus plotą r spindulio r apskritime pateikia
(A = ~ frac { theta} {360} text {} times text {} ! ! Pi ! ! Text {} {{r} ^ {2}} )
(= frac { theta} {360} text {} times text {} left ( text {Apskritimo sritis} dešinė) text {} …… .. text {(ii) } )
= × (apskritimo plotas)…. Ii)
Keli naudingi rezultatai, kuriuos reikia atsiminti:
i) kampas, apibūdinamas minutės ranka per 60 minučių = 360º
Kampas, apibūdinamas minutės rodykle per vieną minutę
(= {{ kairė ( frac {360} {60} dešinė)} ^ {0}} = text {} 6 {} ^ text {o} )
Taigi minutės rodyklė pasisuka 6 ° kampu per vieną minutę.
ii) kampas, apibūdinamas valandos ranka per 12 valandų = 360º
Kampas, kurį apibūdina valandos ranka per vieną valandą
(= kairė ( frac {360} {12} dešinė) _ {{}} ^ {0} = 30 {} ^ text {o} )

Skaityti daugiau:

Apskritimo sektoriaus plotas su pavyzdžiais

1 pavyzdys: Iš 21 cm spindulio apskritimo nupjaunamas sektorius. Sektoriaus kampas yra 150º. Raskite jo lanko ir ploto ilgį.
Sol. Kampo sector sektoriaus lanko ilgį l ir plotą A spindulio r apskritime nurodo
(l = frac { theta} {360} kartus 2 pi r text {ir A =} frac { theta} {360} times pi {{r} ^ {2}} text {atitinkamai} text {.} )
Čia r = 21 cm ir q = 150
( text {} l = left { frac {150} {360} times 2 times frac {22} {7} times 21 right } text {cm} = text {55 cm} )
( text {and A} = left { frac {150} {360} times frac {22} {7} times {{(21)} ^ {2}} right } c { {m} ^ {2}} = frac {1155} {2} c {{m} ^ {2}} )
= 577,5 cm²

2 pavyzdys: Raskite apskritimo, kurio spindulys yra 14 cm, o sektoriaus kampas – 45º, sektoriaus plotą.
Sol. Mes žinome, kad kampo θ sektoriaus A plotą r spindulio apskritime pateikia
(A = frac { theta} {360} text {} times text {} pi {{r} ^ {2}} )
Čia r = 14 cm ir θ = 45
(A = kairė { frac {45} {360} kartus frac {22} {7} kartus {{(14)} ^ {2}} dešinė } c {{m} ^ { 2}} )
(= kairė { frac {1} {8} kartus frac {22} {7} kartus 14 kartus 14 dešinė } c {{m} ^ {2}} )
= 77 cm²

3 pavyzdys: Fig. Pavaizduoti dviejų koncentrinių apskritimų, kurių spindulys yra 7 cm ir 3,5 cm, sektoriai. Raskite tamsesnio regiono plotą. (Naudokite π = ( frac {22} {7} ).
Sol. Tegul A₁ ir A₂ yra atitinkamai OAB ir OCD sektorių sritys. Tada₁ = 30 ° kampo sektoriaus plotas 7 cm spindulio apskritime

({{A} _ {1}} = kairėn { frac {30} {360} kartus frac {22} {7} kartus {{7} ^ {2}} dešinė } c {{m} ^ {2}} text {} kairėje[ Usin g:A=frac{theta }{360}times pi {{r}^{2}}, right] )
A₁ = ( frac {77} {6} ) cm²
A₂ = 30º kampo sektoriaus plotas 3,5 cm spindulio apskritime.
∴ Užtamsinto regiono plotas
({{A} _ {2}} = kairėn { frac {30} {360} kartus frac {22} {7} kartus {{(3.5)} ^ {2}} dešinė } c {{m} ^ {2}} )
({{A} _ {2}} = kairė { frac {1} {12} times frac {22} {7} times frac {7} {2} times frac {7 } {2} right } c {{m} ^ {2}} = frac {77} {24} c {{m} ^ {2}} )
(= {{A} _ {1}} – {{A} _ {2}} = kairė ( frac {77} {6} – frac {77} {24} dešinė) )
= ( frac {77} {24} ) × (4 – 1) cm² = ( frac {77} {8} ) cm² = 9,625 cm²

4 pavyzdys: Švytuoklė pasisuka 30º kampu ir apibūdina 8,8 cm ilgio lanką. Raskite švytuoklės ilgį.
Sol. Čia, q = 30º, l = lankas = 8,8 cm
(l = frac { theta} {360} kartus 2 pi r )
(8,8 = ~ frac {30} {360} kartus 2 kartus frac {22} {7} kartus r ~ )
(r = frac {8.8 kartus 6 kartus 7} {22} = 16.8 text {} cm )

5 pavyzdys: Laikrodžio minutės rodyklės ilgis yra 14 cm. Per minutę raskite minutės rodyklę. (Naudokite π = 22/7)
Sol. Aišku, laikrodžio minutės rodyklė apibūdina spindulio ratą, lygų jo ilgiui, ty 14 cm.
Kadangi minutės rodyklė sukasi per 6º per vieną minutę. Todėl minutės rodyklės per vieną minutę plotas yra 6 ° kampo sektoriaus plotas 14 cm spinduliu. Taigi reikiamą A plotą nurodo
(A = frac { theta} {360} kartus pi {{r} ^ {2}} ~ )
(A = kairė { frac {6} {360} kartus frac {22} {7} kartus {{(14)} ^ {2}} dešinė } )
(A = kairė { frac {1} {60} times frac {22} {7} kartus 14 kartus 14 dešinė } = frac {154} {15} )
= 10,26 cm²

6 pavyzdys: 5,2 cm spindulio apskritimo sektoriaus perimetras yra 16,4 cm. Raskite sektoriaus sritį.
Sol. Tegul OAB yra nurodytas sektorius. Tada
OAB sektoriaus perimetras = 16,4 cm

⇒ OA + OB + lankas AB = 16,4 cm
⇒ 5,2 + 5,2 + lankas AB = 16,4
⇒ lankas AB = 6 cm
⇒ l = 6 cm
∴ OAB sektoriaus sritis = ( frac {1} {2} ) lr
= ( frac {1} {2} ) × 6 × 5,2 cm² = 15,6 cm²

7 pavyzdys: Laikrodžio minutės rodyklė yra 10 cm ilgio. Raskite minutės rodyklės apibūdintą laikrodžio paviršiaus plotą nuo 9 iki 9.35
Sol. Mes turime,
Kampas, kurį apibūdina minutės rodyklė per minutę = 6º
∴ Kampas, kurį apibūdina minutės rodyklė
35 minutės = (6 × 35) ° = 210 °
∴ Plotas per minutę nuslinko per minutę
= 210 ° kampo sektoriaus plotas 10 cm spindulio apskritime
(= kairė { frac {210} {360} kartus frac {22} {7} kartus {{(10)} ^ {2}} dešinė } c {{m} ^ {2 ~}} = text {} 183.3 text {} c {{m} ^ {2}} ~ text {} left[ text{Using  }A=frac{theta }{360{}^text{o}}times pi {{r}^{2}} right] )

8 pavyzdys: Trumpas ir ilgas laikrodžio rodyklės yra atitinkamai 4 cm ir 6 cm ilgio. Raskite jų patarimų per 2 dienas nuvažiuotų atstumų sumą.
(Imk π = 22/7)
Sol. Per 2 dienas trumpa ranka užbaigs 4 raundus.
∴ Atstumas, perkeliamas jo galiuku = 4 (4 cm spindulio apskritimas)
(= 4 kartus kairė (2 kartus frac {22} {7} kartus 4 dešinėn) = frac {704} {7} text {cm} )
Per 2 dienas ilgoji ranka užbaigs 48 raundus.
∴ atstumas juda jo galiuku
= 48 (6 cm spindulio apskritimas)
(= 48 kartus kairė (2 kartus frac {22} {7} kartus 4 dešinėn) = frac {12672} {7} text {cm} )
Taigi,
Dviejų laikrodžio rodyklių galais perkelto atstumo suma
(= kairė ( frac {704} {7} + frac {12672} {7} dešinė) = text {} 1910,57 text {} cm )

9 pavyzdys: Elastinis diržas dedamas aplink 5 cm spindulio skriemulio ratlankį. Vienas diržo taškas traukiamas tiesiai nuo skriemulio centro O, kol jis bus ties P, 10 cm nuo O. Raskite diržo ilgį, kuris liečiasi su skriemulio kraštu. Taip pat raskite užtamsintą vietą.
Sol. Gretimame paveiksle leiskite letAOP = ∠BOP = θ. Akivaizdu, kad diržo AB dalis nesiliečia su skriemulio kraštu. Stačiajame trikampyje OAP mes turime

( cos theta = frac {OA} {OP} = frac {5} {10} = frac {1} {2} text {} Rightarrow text {} theta = text {} 60 {} ^ text {o} )
⇒ ∠AOB = 2θ = 120º
( text {Arc AB} = frac {120 {} ^ text {o} times 2 times pi times 5} {360} = frac {10 pi} {3} cm )
( liko[ text{Using }l=frac{theta }{360}times 2pi r right] )
Vadinasi, diržo, kuris liečiasi su skriemulio kraštu, ilgis
= Ratlankio apskritimas – lanko ilgis AB
(= text {} 2 pi times 5- frac {10 pi} {3} = frac {20 pi} {3} ~ cm )
Dabar,
Sektoriaus plotas OAQB = ( frac {1} {2} ) × π × 5² cm²
(= frac {25 pi} {3} text {c} {{ text {m}} ^ {2}} text {} left[ text{Using}Area=frac{theta }{360}times pi {{r}^{2}} right] )
Keturkampio OAPB plotas = 2 (∆OAP plotas)
= 2 × (1/2 × OA × AP)
= 5 × 5√3 cm²
[∵ OP² = OA² + AP²   ⇒  AP = (sqrt{100-25}) = 5√3 ]
= 25√3 cm²
Taigi,
Atspalvis plotas = keturkampio plotas
OAPB – OAQB sektoriaus sritis.
(= left (25 sqrt {3} – frac {25 pi} {3} right) = frac {25} {3} (3 sqrt {3} – pi) text {c } {{ text {m}} ^ { text {2}}} )

10 pavyzdys: Apskritimo lanko ilgis yra 5π cm, o jo ribojamo sektoriaus plotas yra 20 π cm². Raskite apskritimo spindulį.
Sol. Apskritimo spindulys tegul būna r cm, o 5π cm ilgio lankas AB apskritimo centre O kampuoja angle. Tada
Lankas AB = 5π cm ir
OAB sektoriaus plotas = 20π cm²

( Rightarrow frac { theta} {360} kartus 2 pi r = 5 pi text {ir} frac { theta} {360} times pi {{r} ^ {2}} = 20 pi )
( Rightarrow frac { frac { theta} {360} times pi {{r} ^ {2}}} { frac { theta} {360} times 2 pi r} = frac {20 pi} {5 pi} )
⇒ r / 2 = 4 ⇒ r = 8 cm
ALTER: Mes turime, Plotas = 1/2 l r ⇒20π
= 1/2 × 5π × r = 8 cm

11 pavyzdys: Skėtyje yra 8 šonkauliai, išdėstyti vienodai. Darant prielaidą, kad skėtis yra plokščias 45 cm spindulio apskritimas. Raskite plotą tarp dviejų vienas po kito einančių skėčio šonkaulių.
Sol. Kadangi šonkauliai yra vienodai išdėstyti. Todėl,
Kampas, sudarytas iš dviejų vienas po kito einančių šonkaulių = ( frac {360} {8} ) = 45º

Taigi,
Plotas tarp dviejų iš eilės šonkaulių
= 45 cm spindulio apskritimo ir 45 ° kampo sektoriaus plotas
(= kairė { frac {45} {360} times frac {22} {7} times 45 times 45 right } text {c} {{ text {m}} ^ { 2}} text {} left[ text{Using }Area=frac{theta }{360}times pi {{r}^{2}} right] )
= ( frac {1} {8} ) × ( frac {22} {7} ) × 45 × 45 cm² = 795,53 cm²

12 pavyzdys: Sagė pagaminta iš sidabrinės vielos apskritimo formos, kurio skersmuo yra 35 mm. Viela taip pat naudojama gaminant 5 skersmenis, kurie padalija apskritimą į 10 lygių sektorių, kaip parodyta pav.
i) bendras reikalingo sidabrinės vielos ilgis
ii) segės kiekvieno sektoriaus plotas.
Sol. i) Mes turime,

Bendras sidabrinės vielos ilgis = spindulio apskritimo apskritimas
35/2 mm + Penkių skersmenų ilgis
= 2π × ( frac {35} {2} ) + 5 × 35 mm
(= kairė (2 kartus frac {22} {7} times frac {35} {2} +175 dešinė) text {mm} )
= 285 mm
ii) Apskritimas yra padalintas į 10 lygių sektorių, todėl kiekvieno sagės sektoriaus plotas
= 1/10 (apskritimo plotas)
= 1/10 × π × (35/2)² cm²
( text {=} frac {1} {10} times frac {22} {7} times frac {35} {2} times frac {35} {2} text {m} {{ text {m}} ^ {2}} )
(= frac {385} {4} text {m} {{ text {m}} ^ {2}} )