Kaip rasti bendrą trigonometrinių lygčių sprendimą?
Trigonometrinės lygtys
Apibrėžimas:
Lygtis, apimanti vieną ar kelis nežinomo kampo trigonometrinius santykius, vadinama trigonometrine lygtimi
Trigonometrinė lygtis skiriasi nuo trigonometrinių tapatybių. Tapatumas tenkinamas kiekvienai nežinomo kampo vertei pvz., cos2 x = 1 – nuodėmė2 x yra teisinga ∀ x ∈ R, tuo tarpu kai kurioms konkrečioms nežinomo kampo reikšmėms tenkinama trigonometrinė lygtis.
(1) Trigonometrinės lygties šaknys: Nežinomo kampo vertė (kintamasis dydis), tenkinantis pateiktą lygtį, vadinamas lygties šaknimi, pvz., cos θ = ½, šaknis yra θ = 60 ° arba θ = 300 °, nes lygybė tenkinama, jei įterpime θ = 60 ° arba θ = 300 °.
(2) Trigonometrinių lygčių sprendimas: Nežinomo kampo vertė, tenkinanti trigonometrinę lygtį, vadinama jos sprendiniu.
Kadangi visi trigonometriniai santykiai yra periodinio pobūdžio, paprastai trigonometrinė lygtis turi daugiau nei vieną sprendimą arba begalinį sprendinių skaičių. Iš esmės yra trijų tipų sprendimai:
- Konkretus sprendimas: Specifinė nežinomo kampo vertė, tenkinanti lygtį.
- Pagrindinis sprendimas: Mažiausia nežinomo kampo skaitinė vertė, tenkinanti lygtį (Skaitmeniškai mažiausias konkretus sprendimas).
- Bendras sprendimas: Visas nežinomo kampo verčių rinkinys, tenkinantis lygtį. Jame yra visi konkretūs sprendimai ir pagrindiniai sprendimai.
Trigonometrinės lygtys su jų bendruoju sprendimu
| Trigonometrinė lygtis | Bendras sprendimas |
| nuodėmė θ = 0 | θ = nπ |
| cos θ = 0 | θ = nπ + π / 2 |
| įdegis θ = 0 | θ = nπ |
| nuodėmė θ = 1 | θ = 2nπ + π / 2 |
| cos θ = 1 | θ = 2nπ |
| nuodėmė θ = nuodėmė α | θ = nπ + (−1)nα |
| cos θ = cos α | θ = 2nπ ± α |
| tan θ = tan α | θ = nπ ± α |
| nuodėmė2 θ = nuodėmė2 α | θ = nπ ± α |
| įdegis2 θ = įdegis2 α | θ = nπ ± α |
| cos2 θ = cos2 α | θ = nπ ± α |
| nuodėmė θ = nuodėmė α cos θ = cos α |
θ = nπ + α |
| nuodėmė θ = nuodėmė α tan θ = tan α |
θ = nπ + α |
| tan θ = tan α cos θ = cos α |
θ = nπ + α |
Bendras formos a cos θ + b sin θ = c sprendimas
Pagrindinės vertės nustatymo metodas
Tarkime, kad turime rasti pagrindinę nuodėmės vertę θ = −½, tenkinančią lygtį.
Kadangi nuodėmė negative yra neigiama, θ bus 3rd arba 4tūkst kvadrantas. Mes galime priartėti prie 3 ar 4 kvadrato dviem kryptimis. Jei pasuksime prieš laikrodžio rodyklę, kampinė skaitinė vertė bus didesnė už π. Jei priartėsime prie jo pagal laikrodžio rodyklę, kampas bus mažesnis už π. Norėdami nustatyti pagrindinę vertę, turime atsižvelgti į skaitinį mažiausią kampą. Taigi pagrindinei vertei.
(1) Jei kampas yra 1 arba 2 kvadrante, turime pasirinkti kryptį prieš laikrodžio rodyklę, o jei kampas yra 3rd arba 4tūkst kvadrantą, turime pasirinkti kryptį pagal laikrodžio rodyklę.
(2) Pagrindinė vertė niekada nėra didesnė už π.
(3) Pagrindinė vertė visada yra pirmame apskritime (ty pirmame pasukime). Remiantis aukščiau nurodytais kriterijais, θ bus −π / 6 arba −5π / 6 Tarp šių dviejų −π / 6 turi mažiausią skaitinę vertę. Taigi −π / 6 yra pagrindinė value reikšmė, tenkinanti lygtį sin θ = −½.
Iš minėtos diskusijos pagrindinės vertės nustatymo metodą galima apibendrinti taip:
- Pirmiausia nubrėžkite trigonometrinį apskritimą ir pažymėkite kvadrantą, kuriame kampas gali slypėti.
- Pasirinkite 1 kryptį prieš laikrodžio rodyklęšv ir 2nd kvadrantus ir 3 pagal laikrodžio rodyklę pasirinkite kryptįrd ir 4tūkst kvadrantai.
- Raskite kampą pirmame pasukime.
- Pasirinkite mažiausiai skaitinį kampą. Tokiu būdu nustatytas kampas bus pagrindinė vertė.
- Tuo atveju, jei du kampai, kurių vienas turi teigiamą, o kitas – su neigiamuoju ženklu, atitinka mažiausiai skaitinį kampą, tada įprasta pasirinkti kampą su teigiamu ženklu kaip pagrindinę vertę.
Trigonometrinės lygčių problemos su sprendimais
1.
Sprendimas:
2.
Sprendimas:
3.
Sprendimas:
4.
Sprendimas:
5.
Sprendimas:
6.
Sprendimas:
7.
Sprendimas:
8.
Sprendimas:
9.
Sprendimas:
Pagrindinės trigonometrinės lygtys:
Paprašius išspręsti 2x – 1 = 0, galime lengvai gauti atsakymą 2x = 1 ir x =.
Paprašius išspręsti 2 sin x – 1 = 0, mes elgiamės panašiai. Pirmiausia mes žiūrime į sin x kaip į lygties kintamąjį ir sprendžiame, kaip tai darėme pirmajame pavyzdyje.
2 sin x – 1 = 0
2 sin x = 1
sin x = 1/2
Ženklai ir kvadrantai:
Trigonometrinių lygčių sprendimus taip pat galima rasti ištyrus trigrašio vertės ženklą ir nustatant tinkamą tos vertės kvadrantą (-us).
